Définition

Définition d'un morphisme de groupe (ou homomorphisme) :

• soient \((G,\cdot),(G^\prime,*)\) deux groupes
• soit \(\varphi: G\to G^\prime\)
• $$\forall x,y\in G,\qquad \varphi(x\cdot y)=\varphi(x)*\varphi(y)$$

$$\Huge\iff$$

• on dit que \(\varphi\) est un morphisme de groupe ou homomorphisme

[!Remark] Notation
On note \(\operatorname{Hom}(G,G^\prime)\) l'ensemble des morphismes de \(G\) dans \(G^\prime\)
[!Note] Existence
\(\operatorname{Hom}(G,G^\prime)\ne\varnothing\), car il contient toujours l'application constante qui à tout élément de \(G\) associe \(e_{G^\prime}\)

Groupes isomorphes

Définition :
On dit que deux groupes \(G\) et \(G^\prime\) sont isomorphes s'il existe un isomorphisme de \(G\) dans \(G^\prime\)
On note alors \(G\simeq G^\prime\)
[!Note] Nombre d'isomorphismes
En général, deux groupes isomorphes ne sont pas rendus isomorphes par un unique isomorphisme de groupes.
[!Note] Type de relation
La relation d'isomorphisme \(\simeq\) est une relation d'équivalence

Cas particuliers

Isomorphisme

Propriétés

Elément neutre

Image d'un élément neutre par un morphisme :

• \(f:G\to G^\prime\) est un morphisme
• \(e\) et \(e^\prime\) sont les éléments neutres de \(G\) et \(G^\prime\) respectivement

$$\Huge\iff$$

• $$f(e)=e^\prime$$

Elément d'un inverse

Image d'un inverse par un morphisme de groupes :

• \(f\) est un morphisme de groupe

$$\Huge\iff$$

• $$\forall x\in G,\qquad f(x^{-1})=f(x)^{-1}$$

Image d'un sous-groupe

Image d'un sous-groupe par un morphisme :

• soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
• soit \(H\subset G\) un sous-groupe

$$\Huge\iff$$

• \(f(H)\) est un sous-groupe de \(G^\prime\)

Image réciproque

Image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme :

• soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
• soit \(H^\prime\subset G^\prime\) un sous-groupe

$$\Huge\iff$$

• \(f^{-1}(H^\prime)\) est un sous-groupe de \(G\)

Image

Définition :
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme de groupes
\(f(G)\) est un sous-groupe de \(G^\prime\), appelé image de \(f\) et noté \(\operatorname{Im}(f)\)

Surjectivité

Surjectivité d'un morphisme :

• soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
• \(\operatorname{Im}(f)=G^\prime\)

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est surjective

Noyau

Définition :
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme de groupes
\(f^{-1}(\{e\})\) est un sous-groupe de \(G\), appelé noyau de \(f\) et noté \(\ker(f)\)
Proposition :
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
Alors on a : $${{\

G}}={{\#\ker f\times\#\operatorname{Im} f}}f}}$$

Proposition :
Pour tout morphisme \(\varphi\), on a : $${{\ker\varphi}}{{\triangleleft}} G$$

Injectivité

Injectivité d'un morphisme :

• soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
• \(\ker(f)=\{e\}\)

$$\Huge\iff$$

• \(f\) est injective

Décomposition canonique

Définition :
Soit \(f:G\to G^\prime\) un morphisme
On définit la décomposition canonique de \(f\) : $${{\bar f}}:\begin{align}{{ G/\ker f}}&\longrightarrow{{\operatorname{Im} f}} \\ {{\bar x}}&\longmapsto{{\bar f(\bar x)=f(x)}}\end{align}$$ c'est un isomorphisme
(Isomorphisme)

Groupes finis isomorphes

Proposition :
Les ensembles sous-jacents de deux groupes isomorphes sont équipotents
(Ensembles équipotents - Equipotence)
Groupes finis isomorphes :

• soient \(G,G^\prime\) deux groupes finis
• \(G\simeq G^\prime\)

$$\Huge\iff$$

• \(\
  

  G=\# G^\prime\)

Exemples

Automorphisme intérieur